Superfícies de revolução

Uma superfície de revolução é a superfícies gerada por uma curva plana (chamada de geratriz), que gira $360°$ em torno de uma reta (chamada de eixo) situada no plano da curva. Nesse caso, o traço da superfície em um plano perpendicular ao eixo é uma circunferência, e a equação da superfície de revolução pode ser obtida a partir da equação da curva geratriz.
Dada uma superfície gerada pela revolução da parábola $\{\begin{array}{l}{z}^2=2y\\ x=0\end{array}$ em torno do eixo dos y:

A equação dessa superfície pode ser obtida substituindo $z$ por $\sqrt{x^2+y^2}$ na equação $z^2=2y$, obtendo-se $x^2+y^2=2y$.

Se a geratriz estiver contida em um dos planos coordenados e girar $360°$ em torno de um dos eixos desse plano, a equação da superfície será obtida da seguinte maneira:

• se a curva gira em torno do eixo dos $x$, substitui-se $y$ ou $z$ na equação da curva por $\sqrt{y^2+z^2}$
• se a curva gira em torno do eixo dos $y$, substitui-se $x$ ou $z$ na equação da curva por $\sqrt{x^2+z^2}$
• se a curva gira em torno do eixo dos $z$, substitui-se $x$ ou $y$ na equação da curva por $\sqrt{x^2+y^2}$