Somatórios e produtórios

Somatórios e produtórios são estruturas matemáticas muito úteis para descrever valores resultantes de uma iteração sobre um determinado número de parcelas. Pelas suas similaridades, o foco aqui será nos somatórios, porém note que as propriedades de somatórios podem ser facilmente adaptadas para produtórios.
Um somatório é uma notação utilizada para indicar uma soma cujas parcelas obedecem a um padrão. A forma geral de um somatório é:

$$\sum _{k=m}^{n}f(k)$$

Onde $k$ é o índice. $f(k)$ é uma fórmula que depende de $k$, também chamada de termo geral. $m$ e $n$ são inteiros que não dependem de $k$.
O domínio do somatório é o conjunto dos índices dos termos do somatório, ou seja, os valores que $k$ assume. Note que o valor final do somatório pode mudar caso seu domínio seja alterado.

Existem diversas propriedades importantes dos somatórios, as principais são enunciadas a seguir:

• Colocando a constante em evidência: $\sum _{k\in K}cf(x)=c\sum _{k\in K}f(x)$
• Associatividade: $\sum _{k\in K}(f(x)\pm g(x))=\sum _{k\in K}f(x)\pm \sum _{k\in K}g(x)$
• Decomposição do domínio: se $\{K_1,K_2\}$ é uma partição de $K$, então: $\sum _{k\in K}f(x)=\sum _{k\in K_1}f(x)+\sum _{k\in K_2}f(x)$
• Trocando o domínio: se $p$ é uma função bijetora de $K$ para um conjunto $J\subseteq \mathbb{Z}$, então: ${\sum }_{k\in K}f(p(k))={\sum }_{j\in J}f(j)$

Somatório de uma constante

Dada uma constante $c$, isto é, $c$ não depende do índice do somatório, temos que:

$$\sum _{i=1}^{n}c=nc$$

Somatório do índice

Dado um somatório de índice $k$, temos:

$$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$$

Somatório telescópico

Dado um somatório de índice $k$, com $X_k$ indicando o k-ésimo elemento, temos:

$$\sum _{k=1}^n(X_{k+1}-X_k)=X_{n+1}-X_1$$

Somatório dos quadrados dos índices

Dado um somatório de índice $k$, temos:

$$\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$