Semântica da lógica proposicional

A semântica especifica como as sequências válidas da linguagem se relacionam entre si e qual o valor-verdade dessa relação. No campo da semântica são tratados não só as interpretações e classificação das fórmulas lógicas, mas também as relações de consequência e equivalência que elas estabelecem entre si.

Interpretação ($I$)

Chamamos de interpretação o valor-verdade associado à uma fórmula. Podemos também dizer que a interpretação é uma função cujo contradomínio é o conjunto composto pelos elementos $V$ e $F$.
Cada um dos operadores lógicos possui uma interpretação específica

• Negação ($\neg$): Inverte o valor-verdade da fórmula.
• Conjunção ($\wedge$): É $V$ apenas se todos os valores-verdade de suas subfórmulas forem $V$.
• Disjunção ($\vee$): É $V$ se o valor-verdade de pelo menos uma de suas subfórmulas for $V$.
• Condicional ($⟹$): É $V$ se o valor-verdade do antecedente é $F$ ou se o valor-verdade do consequente é $V$.
• Bicondicional ($⟺$): É $V$ se o valor-verdade de suas subfórmulas forem iguais.

$p$	$q$	$\neg p$	$\neg q$	$p\wedge q$	$p\vee q$	$p⟹q$	$p⟺q$
$V$	$V$	$F$	$F$	$V$	$V$	$V$	$V$
$V$	$F$	$F$	$V$	$F$	$V$	$F$	$F$
$F$	$V$	$V$	$F$	$F$	$V$	$V$	$F$
$F$	$F$	$V$	$V$	$F$	$F$	$V$	$V$

Tabela-verdade

O número de linhas de uma tabela-verdade para uma determinada expressão é igual a $2^n$, em que $n$ é o número total de átomos na expressão. É importante também sempre organizar as colunas da tabela-verdade na ordem de precedência dos operadores da expressão.

Classificação de fórmulas

Fórmulas podem ter diversas classificações de acordo com seus valores-verdade em uma ou mais interpretações:

• Verdadeira: uma fórmula $\alpha$ é verdadeira na interpretação $I$ se tem valor-verdade $V$ na interpretação $I$.
• Falsa: uma fórmula $\alpha$ é falsa na interpretação $I$ se tem valor-verdade $F$ na interpretação $I$.
• Satisfazível (consistente): uma fórmula $\alpha$ é satisfazível se existe pelo menos uma interpretação $I$ tal que $I[\alpha ]=V$.
• Inválida (falsificável): uma fórmula $\alpha$ é inválida se existe pelo menos uma interpretação $I$ tal que $I[\alpha ]=F$.
• Tautologia: uma fórmula $\alpha$ é tautologia se for verdadeira em todas as interpretações possíveis.
• Contradição (insatisfazível ou inconsistente): uma fórmula $\alpha$ é contradição se for falsa em todas as interpretações possíveis.
• Contingente: uma fórmula que não é nem tautologia nem contradição é chamada de contingente (ou contingência).