Semântica da lógica de predicados

A semântica especifica como as sequências válidas se relacionam entre si e qual o valor-verdade dessas relações. No campo da semântica são tratados não só as interpretações e classificação das fórmulas lógicas, mas também as relações de consequência e equivalência que elas estabelecem entre si.

Interpretação ($I$)

Na lógica de predicados uma interpretação $I$ de uma fórmula $\alpha$ é composta dos seguintes elementos:

• Um conjunto não vazio $D$, chamado de domínio da interpretação, no qual as variáveis assumem valores.
• Uma atribuição a cada:
  • Símbolo constante de $\alpha$, de um elemento de $D$
  • Símbolo funcional n-ário de $\alpha$, de uma função de $D^n\to D$
  • Símbolo de predicado n-ário de $\alpha$, de uma função de $D^n\to \{V,F\}$

Determinando o valor-verdade de uma fórmula

Dada uma interpretação $I$ de uma linguagem de primeira ordem $\lambda$ com um domínio $D$. Seja $A$ uma atribuição com relação a $I$, o valor verdade da fórmula é dado por:

1. Se a fórmula é um átomo $p(t_1,\dots ,t_n)$, então o valor verdade é obtido calculando o valor de $p$ com relação a $I$ e $A$.
2. Se a fórmula for uma fórmula composta, ou seja, com átomos conectados por conectivos lógicos, então seu valor-verdade é dado pelo valor-verdade dos átomos com relação a $I$ e $A$ manipulados pelos conectivos lógicos
3. Se a fórmula é da forma $\exists \alpha$, seu valor-verdade é $V$ se existe pelo menos um $d\in D$ tal que $\alpha$ tem valor-verdade $V$ com relação a $I$ e $A(X/d)$; caso contrário seu valor-verdade é $F$
4. Se a fórmula é da forma $\forall \alpha$, seu valor-verdade é $V$ se para todo $d\in D$, $\alpha$ tem valor-verdade $V$ com relação a $I$ e $A(X/d)$; caso contrário seu valor-verdade é $F$

É importante ressaltar que em uma fórmula as variáveis livres sempre assumem os valores especificados na atribuição $A$, se comportando como constantes. Só atribuímos os valores do domínio $D$ a uma variável se ela estiver sendo quantificada na fórmula em questão.

Classificação de fórmulas

Um ponto central da classificação de fórmulas na lógica de predicados é o conceito de modelo

Modelo
Dada uma interpretação $I$ em uma linguagem de primeira ordem $\lambda$. Seja $\alpha$ uma fórmula (ou conjunto de fórmulas), $I$ é um modelo de $\alpha$ se o valor-verdade de $\alpha$ com relação a $I$ for $V$.

As fórmulas da lógica de predicados podem ter diversas classificações de acordo com seu valor-verdade com relação a interpretações $I$.

• Satisfazível (consistente): uma fórmula fechada $\alpha$ é satisfazível se existe pelo menos uma interpretação $I$ tal que $I[\alpha ]=V$, ou seja, $I$ é um modelo para $\alpha$.
• Tautologia (válida): uma fórmula fechada $\alpha$ é uma tautologia se for $V$ em todas as interpretações possíveis, ou seja, todas as interpretações possíveis são modelo para $\alpha$.
• Inválida (falsificável): uma fórmula fechada $\alpha$ é inválida se existe pelo menos uma interpretação $I$ tal que $I[\alpha ]=F$.
• Contradição (insatisfazível): uma fórmula fechada $\alpha$ é contradição (ou insatisfazível) se for $F$ em todas as interpretações possíveis, ou seja, não há modelo para $\alpha$.
• Contingente (contingência): uma fórmula fechada $\alpha$ é contingente se não for nem uma tautologia nem uma contradição.