Rotação de eixos

Dado um sistema $Oxy$, com vetores diretores $\overrightarrow{e_1}$ e $\overrightarrow{e_2}$, podemos tomar um ângulo de rotação $\theta$ que transforma o sistema $Oxy$ no sistema $Ouv$, de vetores diretores $\overrightarrow{f_1}$ e $\overrightarrow{f_2}$.

Assim, podemos definir os novos vetores como:

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{f_1}& =\cos \theta \overrightarrow{e_1}+\sin \theta \overrightarrow{e_2}\\ \overrightarrow{f_2}& =-\sin \theta \overrightarrow{e_1}+\cos \theta \overrightarrow{e_2}\end{array}$$

Dessa forma, qualquer ponto $P$ de coordenadas $(x,y)$ no sistema $Oxy$ terá as seguintes coordenadas no sistema $Ouv$:

$$\{\begin{array}{l}x=x^{\prime }\cos \theta -y^{\prime }\sin \theta \\ y=x^{\prime }\sin \theta +y^{\prime }\cos \theta \end{array}$$

Da mesma forma:

$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x\cos \theta +y\sin \theta \\ y^{\prime }=-x\sin \theta +y\cos \theta \end{array}$$

Na notação matricial, temos:

$$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]$$

e

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$$