Plano tangente

Dada uma função $f(x,y)$ diferenciável em $(x_0,y_0)$, o plano definido por:

$$z=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y-y_0)$$

é chamado de plano tangente ao gráfico de $f$ no ponto $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$. Note que só se define um plano tangente em $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ se $f$ for diferenciável no ponto $(x_0,y_0)$.

O plano tangente pode ser representado em notação de produto escalar:

$$\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0),\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0),-1\right)\cdot \left(x-x_0,y-y_0,z-f(x_0,y_0)\right)=0$$

Sendo assim, o vetor normal ao plano tangente em $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ é definido pelas derivadas parciais naquele ponto, e possui sempre direção oposta ao eixo $z$.

$$\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0),\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0),-1\right)$$

Da mesma forma, a reta normal ao gráfico de $f$ em $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ é a reta que passa por $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ e tem a direção do vetor normal ao plano, ou seja:

$$r:(x,y,z)=(x_0,y_0,f(x_0,y_0))+\lambda \left(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0),\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0),-1\right)\text{, }\forall \lambda \in \mathbb{R}$$