Paraboloides

Paraboloide elíptico

Dada a parábola no plano $yz$ de equações $z=\frac{y^2}{b^2}$, $x=0$.

A rotação dessa parábola ao longo do eixo $Oz$ produz o seguinte paraboloide elíptico:

A equação de um paraboloide elíptico depende de qual eixo coordenado a parábola foi girada para obtê-lo. Existem três casos para as equações:

• Caso tenha sido girado ao longo do eixo $Oz$:

$$z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$$

• Caso tenha sido girado ao longo do eixo $Oy$:

$$y=\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}$$

• Caso tenha sido girado ao longo do eixo $Ox$:

$$x=\frac{x^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}$$

Paraboloide hiperbólico

Existem três casos para as equações de um paraboloide hiperbólico:

• Ao longo do eixo $Oz$:

$$z=\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}$$

• Ao longo do eixo $Oy$:

$$y=\frac{z^2}{c^2}-\frac{x^2}{a^2}$$

• Ao longo do eixo $Ox$:

$$x=\frac{z^2}{c^2}-\frac{y^2}{b^2}$$