Máximos e mínimos de funções de várias variáveis

Dado um conjunto aberto $D$ tal que $D\subset {\mathbb{R}}^2$ e uma função $f:D\to \mathbb{R}$. O ponto $(x_0,y_0)$ é um ponto de máximo absoluto (ou máximo global) de $f$ se $f(x_0,y_0)\ge f(x,y),\forall (x,y)\in D$. Da mesma forma, um ponto $(x_0,y_0)$ é um ponto de máximo local de $f$ se existir uma bola aberta $B$ de centro em $(x_0,y_0)$ e raio $r>0$ tal que $f(x_0,y_0)\ge f(x,y),\forall (x,y)\in B\cap D$.

A definição dos pontos de mínimo é análoga à definição de pontos de máximo. Pontos de máximo e de mínimo de uma função $f$ são denominados extremantes de $f$.

Dada uma função $f:D\to \mathbb{R}$ tal que $D\subset {\mathbb{R}}^2$ e um ponto interior de $f$ $(x_0,y_0)$. Se $(x_0,y_0)$ é um ponto extremante de $f$, então $\nabla f(x_0,y_0)=(0,0)$. Isso equivale a dizer que o plano tangente ao gráfico de $f$ em $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ é paralelo ao plano $xy$.

Note que a recíproca não é verdadeira, portanto nem todo ponto cujo vetor gradiente é nulo é um ponto de máximo ou mínimo de $f$. Note também que esse resultado não se aplica a pontos de fronteira de $D$, ou seja, um ponto de fronteira pode ser um ponto extremante sem que o vetor gradiente de $f$ aplicado ao ponto seja nulo.

Pontos críticos

Os pontos críticos de uma função são os candidatos a serem pontos de máximo ou mínimo. Um ponto $(x_0,y_0)$ é ponto crítico de $f$ se e somente se $\nabla f(x_0,y_0)=(0,0)$.

Para determinar se um ponto crítico é de fato um ponto de máximo ou mínimo, é necessário verificar as derivadas parciais de segunda ordem da função naquele ponto.

Dada uma função de classe $C^2$, isto é, que possui derivadas de segunda ordem e essas são contínuas, $f:D\to \mathbb{R}$ tal que $D\subset {\mathbb{R}}^2$, e um ponto $(x_0,y_0)$ interior do domínio de $f$ tal que $\nabla f(x_0,y_0)=(0,0)$, ou seja, $(x_0,y_0)$ é um ponto crítico de $f$. Nessas condições, se $(x_0,y_0)$ for ponto máximo local de $f$ então:

$$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(x_0,y_0)\le 0\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}(x_0,y_0)\le 0$$

Nas mesmas condições, se $(x_0,y_0)$ for um ponto de mínimo de $f$, então:

$$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(x_0,y_0)\ge 0\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}(x_0,y_0)\ge 0$$

Note que se, nas condições acima, as derivadas parciais de segunda ordem em um ponto tiverem sinais diferentes, então o ponto em questão não é nem um candidato a máximo nem a mínimo local, mas sim um ponto de sela.

Condição suficiente para ponto extremante local

Dada uma função $f$ de classe $C^2$, ou seja, $f$ é de classe $C^1$, suas derivadas parciais de segunda ordem existem, são contínuas e suas derivadas parciais mistas coincidem. A função $H$ dada por

$$H(x,y)=\left|\begin{array}{cc}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(x,y)& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(x,y)\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(x,y)& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}(x,y)\end{array}\right|$$

é chamada de hessiano de $f$. Expandindo o determinante, podemos definir $H$ como:

$$H(x,y)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(x,y)\cdot \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}(x,y)-{\left[\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(x,y)\right]}^2$$

O teorema a seguir nos fornece uma condição suficiente para um ponto crítico de $f$ ser máximo ou mínimo local de $f$.

Dada uma função $f$ de classe $C^2$, $(x_0,y_0)$ um ponto interior de $D_f$ e $H(x,y)$ o hessiano de $f$. Dado que $(x_0,y_0)$ é um ponto crítico de $f$, tem-se as seguintes conclusões:

1. Se $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(x_0,y_0)>0$ e $H(x_0,y_0)>0$, então $(x_0,y_0)$ é um ponto de mínimo local de $f$.
2. Se $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(x_0,y_0)<0$ e $H(x_0,y_0)>0$, então $(x_0,y_0)$ é um ponto de máximo local de $f$.
3. Se $H(x_0,y_0)<0$, então $(x_0,y_0)$ não é extremante local, e sim um ponto de sela.
4. Se $H(x_0,y_0)=0$, nada se conclui.