Limites laterais

Em certos casos devemos analisar os limites laterais de uma função, pois não há um limite definido, os limites dependem do “lado” dos valores de $x$, por exemplo:

$$f(x)=x+\frac{x}{|x|}$$

Se $x>0,|x|=x$, portanto $f(x)=x+1$. Se $x<0,|x|=-x$, portanto $f(x)=x-1$. Dessa forma, temos que se $x$ tende a $0$ mantendo-se positivo (pela direita), $f(x)$ tende a $1$, mas se $x$ tende a $0$mantendo-se negativo (pela esquerda), $f(x)$ tende a $-1$.

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=1\therefore x>0$$ $$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=-1\therefore x<0$$

Assim, introduzimos novos símbolos na álgebra de limites:

${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x}=\frac{1}{0^{+}}=+\infty {\lim }_{x\to 0^{-}}\frac{1}{x}=\frac{1}{0^{-}}=-\infty$

É importante também dizer que a afirmação ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=a$ é equivalente as afimarções simultâneas de que ${\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)=a$ e ${\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)=a$.
Portanto se, com ambos os limites definidos em $f(x)$, podemos afirmar que se

${\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)\ne {\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)=a$

então não existe ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=a$.