Funções de várias variáveis

Em aplicações reais geralmente as funções relacionam o valor de mais de uma variável a algum outro valor. Em geral as funções de duas variáveis são estudadas com mais ênfase, pois a partir delas é possível generalizar os resultados para quaisquer funções de $n$ variáveis.

Uma função de duas variáveis a valores reais é uma função $f:A\to \mathbb{R}$, tal que $A$ é um subconjunto de ${\mathbb{R}}^2$, chamado de domínio de $f$, e denotado por $D_f$. Uma função desse tipo associa a cada par $(x,y)\in A$ um único número $f(x,y)\in \mathbb{R}$. A imagem de $f$ é o conjunto dado por

$$\text{Im}f=\{f(x,y)\in \mathbb{R}|(x,y)\in D_f\}$$

Gráfico e curvas de nível

Dada uma função real de duas variáveis reais tal que $z=f(x,y),(x,y)\in A$, o gráfico de $f$ é o conjunto dado por

$$G_f=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3|z=f(x,y),(x,y)\in A\}$$

É possível representar esse conjunto de pontos em um plano cartesiano através de uma superfície plana. Dessa forma, visualiza-se uma figura composta pelos valores reais que $f$ associa a cada par $(x,y)$.
Essa representação geométrica pode não ser muito clara, por conta disso é comum representar funções desse tipo através das curvas de nível, cuja representação geométrica é sempre mais simples do que o gráfico completo da função.

O conjunto de pontos $(x,y)\in D_f$ tais que $f(x,y)=c$, sendo $c$ uma constante real, é chamada de curva de nível de $f$ no nível $c$.

Note que, enquanto o gráfico de $f$ é um subconjunto de ${\mathbb{R}}^3$, uma curva de nível é um subconjunto do domínio de $f$, portanto é, nesse caso, um subconjunto de ${\mathbb{R}}^2$, o que torna sua representação fundamentalmente mais simples de ser obtida.