Diferenciabilidade de funções de várias variáveis

A definição da diferenciabilidade das funções de várias variáveis parte do mesmo princípio de razão incremental usado da definição para funções de uma variável, porém são necessários alguns ajustes.

Dada uma função $f:A\to \mathbb{R}$, sendo $A$ um conjunto aberto tal que $A\subseteq {\mathbb{R}}^2$, e um ponto $(x_0,y_0)\in A$. Dizemos que $f$ é diferenciável em $(x_0,y_0)$ se e somente se existirem $a,b\in \mathbb{R}$ tais que

$$\underset{(h,k)\to (0,0)}{\lim }\frac{f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-ah-bk}{||(h,k)||}=0$$

A partir da diferenciabilidade de uma função, é possível garantir outras das suas propriedades.

Diferenciabilidade implica continuidade
Se uma função $f(x,y)$ é diferenciável em $(x_0,y_0)$, então ela é contínua em $(x_0,y_0)$.

Diferenciabilidade implica a existência de derivadas parciais
Se uma função $f(x,y)$ é diferenciável em $(x_0,y_0)$, então $f$ admite derivadas parciais nesse ponto, e as derivadas parciais com relação a $x$ e $y$ são, respectivamente, os valores $a$ e $b$ no limite que define a diferenciabilidade.

Tendo essas implicações em vista, podemos derivar o seguinte:

Dada uma função $f:A\to \mathbb{R}$, sendo $A$ um conjunto aberto tal que $A\subseteq {\mathbb{R}}^2$, e um ponto $(x_0,y_0)\in A$. Dizemos que $f$ é diferenciável em $(x_0,y_0)$ se e somente se as seguintes condições forem satisfeitas:

1. $f$ é contínua em $(x_0,y_0)$
2. $f$ admite derivadas parciais em $(x_0,y_0)$
3. $\underset{(h,k)\to (0,0)}{\lim }\frac{E(h,k)}{||(h,k)||}=0$
   Sendo $E(h,k)$ definida por:

$$E(h,k)=f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)h-\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)k$$

Existe ainda uma condição suficiente para a diferenciabilidade que envolve as derivadas parciais de uma função.

Dada uma função $f:A\to \mathbb{R}$, sendo $A$ um conjunto aberto tal que $A\subseteq {\mathbb{R}}^2$. Se as derivadas parciais $\frac{\partial f}{\partial x}$ e $\frac{\partial f}{\partial y}$ existirem em $A$ e forem contínuas no ponto $(x_0,y_0)$, então $f$ é diferenciável neste ponto.

Note que a recíproca do teorema não é verdadeira, isto é, existem funções que são diferenciáveis num ponto sem que as derivadas parciais sejam contínuas nesse ponto.