Derivadas direcionais

As derivadas direcionais nos permitem calcular a taxa de variação de uma função de várias variáveis na direção de um vetor arbitrário.

Dada uma função $f$, um ponto $(x_0,y_0)$ do domínio de $f$ e um vetor unitário $\vec{u}=(a,b)$, a taxa média de variação de $f$ na direção $\vec{u}=(a,b)$ entre os pontos $(x_0,y_0)$ e $(x_0+at,y_0+bt)$ é dada por:

$$\frac{f(x_0+at,y_0+bt)-f(x_0,y_0)}{t}$$

Através de limites, é possível então definir a derivada direcional de $f$ no ponto $(x_0,y_0)$ e na direção do vetor unitário $\vec{u}=(a,b)$:

$$\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(x_0,y_0)=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+at,y_0+bt)-f(x_0,y_0)}{t}$$

Note que as [derivadas parciais](./Derivadas parciais.md) de $f$ em $(x_0,y_0)$ são também derivadas direcionais particulares. $\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)$ e $\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)$ são, respectivamente, as derivadas direcionais de $f$ no ponto $(x_0,y_0)$ e nas direções dos vetores $\vec{i}=(1,0)$ e $\vec{j}=(0,1)$.

Se $f$ for uma função diferenciável em $(x_0,y_0)$, então a seguinte igualdade é verdadeira:

$$\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)\cdot \overrightarrow{(}u)$$

Esse resultado facilita o cálculo das derivadas direcionais, mas ele é válido apenas se $f$ for diferenciável no ponto em que se deseja calcular a derivada.