Critério da comparação

Dadas duas sequências numéricas $(a_n)$ e $(b_n)$ com $0\le a_n\le b_n$, pode-se afirmar duas coisas:

1. Se $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ for divergente, então $\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n$ também diverge.
2. Se $\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n$ for convergente, então $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ também converge.

A ideia central do critério da comparação de relacionar duas sequências e inferir conclusões sobre a convergência de uma com base no conhecimento da convergência da outra serve de base para os outros critérios aqui enunciados.
Uma inconveniência da aplicação do critério da comparação é que a sua manipulação algébrica e aplicação muitas vezes não consideram a ordem de grandeza do crescimento das sequências, e sim apenas uma relação estrita de desigualdade. Por esse motivo desenvolveu-se uma variação do critério da comparação, que usa da mesma base porém é mais pragmático e manipulável.

Critério da comparação no limite

Dadas duas sequências numéricas $(a_n)$ e $(b_n)$ com $0\le a_n$ e $0\le b_n$, $\forall n$. Supondo $L$ tal que

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{b_n}=L$$

pode-se afirmar o seguinte com base no valor de $L$:

1. $0<L<+\infty$: $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ converge $⟺$ $\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n$ converge.
2. $L=0$: se $\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n$ converge então $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ converge.
3. $L=\infty$: se $\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n$ diverge então $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ diverge.

Note que para o critério da comparação no limite não é necessário saber qual a relação de desigualdade das duas sequências, pois analisa-se apenas o limite de seu quociente. Vale destacar também que esse critério permite conclusões mais claras e precisas, pois quando existe um limite definido para o quociente das duas sequências, a informação sobre convergência deve necessariamente ser a mesma entre as séries.