Continuidade de funções de várias variáveis

Assim como para funções de uma variável, a continuidade é definida em termos de limites.

Uma função $f(x,y)$ é contínua no ponto $(x_0,y_0)$ se as seguintes condições forem satisfeitas:

1. $f$ for definida em $(x_0,y_0)$
2. $\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)$ existe
3. $\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)=f(x_0,y_0)$

É possível também definir a continuidade de uma função através da composição de outras duas funções cuja continuidade já é conhecida.

Dada uma função $f:D\to \mathbb{R}$ contínua no ponto $(x_0,y_0)$, e uma função $g:I\to \mathbb{R}$ contínua em $z_0=f(x_0,y_0)$, então a composta $g(f(x,y))$ é contínua em $(x_0,y_0)$.

Note que para ser possível fazer a composta entre duas funções, a imagem de $f$ deve estar contida no domínio de $g$, ou seja: $Im(f)\subseteq Dom(g)$.