Consequência e equivalência lógica na lógica de predicados

Consequência e equivalência lógica são relações estabelecidas entre duas fórmulas (ou conjunto de fórmulas).

Consequência lógica

Dado um conjunto $S=\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n\}$ de fórmulas fechadas de uma linguagem de primeira ordem $\lambda$, e uma fórmula fechada $\beta$ de $\lambda$. $\beta$ é consequência lógica do conjunto $S$ se, para toda interpretação $I$ de $\lambda$ na qual $I$ é um modelo para $S$, $I$ é também um modelo para $\beta$. Ou seja, se

$${\alpha }_1\wedge {\alpha }_2\wedge \cdots \wedge {\alpha }_n⟹\beta$$

é uma tautologia, então $S\models \beta$.

Equivalência lógica

Duas fórmulas $\alpha$ e $\beta$ são logicamente equivalentes se as interpretações que satisfazem $\alpha$ são exatamente as mesmas que satisfazem $\beta$.

Vale destacar que as consequências e equivalências básicas da lógica proposicional são igualmente válidas para a lógica de predicados. Além dessas, temos uma equivalência específica para os quantificadores da lógica de predicados.

$$\begin{array}{rl}& \neg (\forall X\alpha [X])\equiv (\exists X\neg \alpha [X])\\ & \\ & \neg (\exists X\alpha [X])\equiv (\forall X\neg \alpha [X])\end{array}$$