Consequência e equivalência lógica

Consequência e equivalência lógica são relações estabelecidas entre duas fórmulas (ou conjunto de fórmulas).

Consequência lógica

A ideia de consequência lógica serve de base para a ideia de prova ou dedução, ou seja, entender se uma conclusão pode ser obtida a partir de um conjunto de proposições (fórmulas) chamadas premissas.

Uma fórmula $\beta$ é consequência lógica de outra fórmula $\alpha$ ($\alpha$ implica logicamente $\beta$) se toda interpretação que satisfaz $\alpha$ também satisfaz $\beta$. A consequência lógica é representada por $\alpha \models \beta$. Caso não haja consequência lógica entre duas fórmulas escreve-se $\alpha ⊭\beta$.

É importante destacar que o conceito de consequência lógica pode ser estendido para um conjunto de fórmulas, daí parte a seguinte definição:

Uma fórmula $\alpha$ é consequência lógica de um conjunto de fórmulas $\Gamma$ ($\Gamma$ implica logicamente $\alpha$) se toda interpretação que satisfaz todas as fórmulas de $\Gamma$ também satisfaz $\alpha$. A consequência lógica é representada por $\Gamma \models \alpha$.

Equivalência lógica

O conceito de equivalência lógica se relaciona com a ideia de igualdade e (em alguns casos) simplificação de fórmulas, e é muito utilizado na definição de propriedades e axiomas fundamentais da álgebra proposicional.

Duas fórmulas $\alpha$ e $\beta$ são logicamente equivalentes se as interpretações que satisfazem $\alpha$ são exatamente as mesmas que satisfazem $\beta$. Em outras palavras, a equivalência lógica entre $\alpha$ e $\beta$ ocorre se e somente se $\alpha \models \beta$ e $\beta \models \alpha$. A equivalência lógica é representada por $\alpha \equiv \beta$.