Conjuntos

Um conjunto é uma coleção de objetos não ordenada e sem repetição. De maneira geral, todos os objetos de um conjunto têm alguma propriedade em comum, sendo essa a razão pela qual os elementos foram agrupados.

Pertinência a um conjunto

Cada objeto de um conjunto pertence ao dado conjunto. A relação de pertinência a um conjunto é denotada pelo símbolo $\in$.

• $x\in A$ significa que o objeto $x$ é um elemento do conjunto $A$.
• $x\notin A$ significa que o objeto $x$ não é um elemento do conjunto $A$.

Descrição de conjuntos

Existem algumas formas de descrever um conjunto:

1. Listar total ou parcialmente os elementos do conjunto: $A=\{a,b,c\}$, $B=\{2,4,6,\dots \}$
2. Explicitar ao menos um elemento do conjunto e descrever os outros em termos de elementos já conhecidos: $\text{i. }2\in B$ e $\text{ii. Se }n\in B\text{, enta˜o }(n+2)\in B$
3. Descrever uma propriedade que carateriza todos os elementos do conjunto: $B=\{x|x\text{ eˊ um inteiro par, }x>0\}$

Um conjunto vazio $\varnothing$ é um conjunto sem nenhum elemento.

Cardinalidade

A cardinalidade (ou tamanho) de um conjunto é o número de elementos desse conjunto. A cardinalidade de um conjunto $A$ pode ser denotada por $|A|$ ou $\#A$.
Um conjunto é dito finito se sua cardinalidade é um número natural $n$, caso contrário, o conjunto é dito infinito, tendo sua cardinalidade denotada por $\infty$.
A cardinalidade do conjunto vazio é zero, ou seja $|\varnothing |=0$.

Conjunto universo

O conjunto universo define o contexto dos objetos em discussão. Esse conjunto é geralmente denotado por $\mathbb{U}$. Quando há a possibilidade de ambiguidade na descrição de um conjunto, utiliza-se o conjunto universo para definir o contexto trabalhado no determinado momento.

Subconjunto

Um conjunto $A$ é um subconjunto de $B$ se todo elemento de $A$ também é elemento de $B$. Essa relação pode ser denotada por:

• $A\subseteq B$: $A$ está contido em $B$
• $B\supseteq A$: $B$ contém $A$

$A$ não é subconjunto de $B$ se pelo menos um elemento de $A$ não pertence a $B$, essa relação é denotada por $A\not\subset B$.

Algumas propriedades importantes da contingência de conjuntos:

1. Todo conjunto é subconjunto do conjunto universo e contém o conjunto vazio: $\varnothing \subseteq A\subseteq \mathbb{U}$
2. Todo conjunto é subconjunto de si mesmo: $A\subseteq A$
3. Transitividade: se $A\subseteq B$ e $B\subseteq C$ então $A\subseteq C$
4. Igualdade: $A=B$ se e somente se $A\subseteq B$ e $B\subseteq A$

Conjunto potência

O conjunto potência (ou conjunto das partes) de um conjunto $S$, denotado por $2^S$ ou $\wp (P)$, é aquele formado por todos os subconjuntos de $S$. Note que para qualquer conjunto $S$, $\wp (P)$ sempre contém pelo menos $\varnothing$ e $S$ como elementos.

Partições

Dado um conjunto não-vazio $A$, uma partição $P$ de $A$ é uma subdivisão de $A$ em conjuntos não-vazios, disjuntos dois a dois de tal forma que a união de todos os elementos de $P$ é $A$.