Aritmética modular

A aritmética modular é o estudo as operações aritméticas básicas no contexto dos números inteiros módulo $n$.
As operações na aritmética modulas sempre estarão definidas no contexto de um conjunto ${\mathbb{Z}}_n$, onde $n$ é um inteiro positivo. O conjunto ${\mathbb{Z}}_n$ é o conjunto de todos os números naturais de $0$ e $n-1$, ou seja:

$${\mathbb{Z}}_n=\{0,1,2,\dots ,n-1\}$$

A partir desse contexto, é possível definir as quatro operações aritméticas básicas em um dado conjunto ${\mathbb{Z}}_n$.

Dado um número inteiro positivo $n$ e $a,b\in {\mathbb{Z}}_n$, definem-se as operações da aritmética modular:

• Adição: $a\oplus b=(a+b)\mathrm{mod}n$
• Multiplicação: $a\otimes b=(a\cdot b)\mathrm{mod}n$
• Subtração: $a\ominus b=|a-b|\mathrm{mod}n$
• Divisão: $a\oslash b=a\otimes b^{-1}$

Inverso

O inverso $a^{-1}$ de um número $a\in {\mathbb{Z}}_n$ é um número (único) $b\in {\mathbb{Z}}_n$ tal que $a\otimes b=1$. Um elemento de ${\mathbb{Z}}_n$ que tenha inverso é chamado de inversível. Os elementos inversíveis de ${\mathbb{Z}}_n$ são aqueles que são relativamente primos com $n$.
Definimos como ${\mathbb{Z}\ast }_n$ o conjunto composto apenas pelos elementos inversíveis de ${\mathbb{Z}}_n$, ou seja:

$${\mathbb{Z}\ast }_n=\{a\in {\mathbb{Z}}_n|mdc(a,n)=1\}$$