Ampliando técnicas de integração

Calcular integrais não é uma tarefa intuitiva, há vezes em que nos deparamos com expressões dentro de integrais cuja solução não é imediata. Ao longo do tempo foram desenvolvidas diversas técnicas para manipular essas expressões e transformá-las em integrais mais simples de serem calculadas.

Completamento de quadrados

Quando temos no denominador um polinômio de grau dois, podemos aplicar esta técnica, que consiste em encontrar um quadrado-perfeito equivalente ao polinômio.
Geralmente utilizamos essa técnica para resolver integrais no seguinte formato:

$$\int \frac{Ax+B}{a{x}^2+bx+c}dx$$

Primeiro fatoramos o polinômio:

$$a{x}^2+bx+c=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)$$

Agora, para colocá-lo na forma $(x+b{)}^2=x^2+2x\cdot b+b^2$:

$$a\left[\left(x^2+2x\cdot \frac{\frac{b}{a}}{2}+{\left(\frac{b}{a}\right)}^2\right)-{\left(c+\frac{b}{a}\right)}^2\right]$$

Note que no final é necessário compensar o valor de ${\left(\frac{b}{a}\right)}^2$ para que no final tenhamos o mesmo valor de $c$.

Substituições trigonométricas

Podemos usar essa técnica para resolver integrais envolvendo expressões $\sqrt{a^2-x^2}$, $\sqrt{a^2+x^2}$, e $\sqrt{x^2-a^2}$. A ideia é utilizar as relações trigonométricas para transformar as expressões em funções trigonométricas, fundamentalmente mais simples de serem integradas. Para fazer isso, é necessário identificar qual substituição devemos aplicar e então substituir tanto a expressão quando o $dx$. As principais substituições são:

$$\begin{array}{rl}\sqrt{a^2-x^2}& =a\cos \theta x=a\sin \theta dx=a\cos \theta d\theta \\ \sqrt{x^2-a^2}& =a\tan \theta x=a\cos \theta dx=a\sec \theta \tan \theta d\theta \\ \sqrt{a^2+x^2}& =a\sec \theta x=a\tan \theta dx=a{\sec }^2\theta d\theta \end{array}$$